Вопрос школьника
Один из спутников планеты Сатурн находится приблизительно на таком же расстоянии r от планеты, как Луна от Земли, но период Т его обращения вокруг планеты почти в n=10 раз меньше, чем у Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения спутника вокруг планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты спутника. То есть:
T^2/T_L^2 = r^3/r_L^3
где T_L — период обращения Луны вокруг Земли, r_L — расстояние от Луны до Земли.
Из условия задачи известно, что r = r_L и T/T_L = 1/n, где n = 10. Подставляя эти значения в формулу Кеплера, получаем:
1/n^2 = r^3/r_L^3
r/r_L = (1/n^2)^(1/3) = 0.464
Таким образом, расстояние от спутника Сатурна до планеты в 0.464 раза меньше, чем расстояние от Луны до Земли.
Для определения отношения масс Сатурна и Земли можно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона:
F = G*m1*m2/r^2
где F — сила притяжения между планетами, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы планет, r — расстояние между ними.
Известно, что период обращения Луны вокруг Земли составляет 27.3 суток, а расстояние между ними равно 384 400 км. Подставляя эти значения в закон всемирного тяготения, получаем:
F_L = G*m_E*m_L/r_L^2
где m_E — масса Земли, m_L — масса Луны.
Аналогично, для спутника Сатурна:
F = G*m_S*m_saturn/r^2
где m_S — масса Сатурна, m_saturn — масса спутника.
Из условия задачи известно, что период обращения спутника Сатурна в 10 раз меньше, чем у Луны. То есть:
T_S/T_L = 1/n = 0.1
Отсюда следует, что расстояние между спутником Сатурна и планетой в n^(2/3) = 2.15 раз меньше, чем расстояние между Луной и Землей. То есть:
r_S/r_L = 1/2.15 = 0.465
Подставляя это значение в закон всемирного тяготения, получаем:
F_S = G*m_S*m_saturn/r_S^2
Таким образом, отношение масс Сатурна и Земли можно найти, разделив выражение для F_S на выражение для F_L:
m_S/m_E = F_S/F_L * r_L^2/r_S^2
Подставляя значения для F_S, F_L, r_L и r_S, получаем:
m_S/m_E = (r_L/r_S)^2 * (T_S/T_L)^2 = 0.00016
Ответ: отношение масс Сатурна и Земли составляет 0.00016.
