Вопрос школьника
Один из углов прямоугольного треугольника равен 29°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника. Также нам понадобится знание о том, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на две части, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится в вершине C, а угол BAC равен 29°. Пусть H – точка пересечения высоты из вершины C с гипотенузой AB, а I – точка пересечения биссектрисы угла ACB с гипотенузой AB.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол AHB также прямой. Также из подобия треугольников ABC и AHC следует, что угол ACH равен 90° — 29° = 61°. Таким образом, угол ICH равен половине угла ACH, то есть 30,5°.
Теперь рассмотрим треугольник AIC. Из теоремы о биссектрисе следует, что отношение длины отрезка AI к длине отрезка IC равно отношению длины стороны AC к длине стороны BC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то AC/BC = sin(29°), а также AC/BC = cos(29°). Таким образом, отношение длины отрезка AI к длине отрезка IC равно sin(29°)/cos(29°) = tan(29°).
Из определения тангенса следует, что угол ICB равен 29°. Таким образом, угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 30,5° + 29° = 59,5°.
Ответ: угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 59,5°.
