Вопрос школьника
Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 40″. Знайдіть
кутові міри дуг, на як і вершини трикутника розбивають
описане коло.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно знати, що коли вершини трикутника розбивають описане коло, то кожен кут трикутника відповідає півкругу на цьому колі. Також, ми знаємо, що в прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 90 градусам, тому ми можемо знайти два інших кути за допомогою теореми Піфагора:
a^2 + b^2 = c^2
де a і b — катети трикутника, а c — гіпотенуза. У нашому випадку, один з катетів дорівнює 40, а другий — невідомий. Гіпотенузу ми можемо знайти за допомогою теореми Піфагора:
c^2 = a^2 + b^2
c^2 = 40^2 + b^2
c^2 = 1600 + b^2
c = sqrt(1600 + b^2)
Тепер ми можемо знайти два інших кути за допомогою тригонометричних функцій:
sin(A) = a/c
sin(A) = 40/sqrt(1600 + b^2)
A = arcsin(40/sqrt(1600 + b^2))
cos(B) = a/c
cos(B) = b/sqrt(1600 + b^2)
B = arccos(b/sqrt(1600 + b^2))
Отже, ми знайшли кутові міри двох кутів трикутника, які відповідають півкругам на описаному колі. Щоб знайти кутову міру третього кута, нам потрібно відняти суму перших двох кутів від 180 градусів:
C = 180 — A — B
Тепер ми знаємо кутові міри всіх трьох кутів трикутника, які відповідають півкругам на описаному колі.
