Вопрос школьника
Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, становить
третю частину від суми інших кутів. Доведіть, що
прямі взаємно перпендикулярні
Ответ от учителя
Позначимо кути, утворені перетином двох прямих, як A і B. Нехай C і D — точки перетину цих прямих. Тоді ми можемо розглядати дві трикутники: ACD і BCD.
За теоремою про суму кутів в трикутнику, сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам. Тому сума кутів в трикутнику ACD дорівнює:
ACD = 180 — A
Аналогічно, сума кутів в трикутнику BCD дорівнює:
BCD = 180 — B
За умовою задачі, один з кутів, утворених при перетині двох прямих, становить третю частину від суми інших кутів. Тобто:
A = B + 3(C + D)
Підставляючи це вираз для A в першу формулу, маємо:
ACD = 180 — (B + 3(C + D))
Аналогічно, підставляючи вираз для B в другу формулу, маємо:
BCD = 180 — (A — 3(C + D))
Додавши ці дві формули, ми отримуємо:
ACD + BCD = 360 — 2(C + D)
Але ми знаємо, що сума кутів в чотирикутнику ABCD дорівнює 360 градусам. Тому:
ACD + BCD = 180
Підставляючи це вираз в попередню формулу, маємо:
180 = 360 — 2(C + D)
2(C + D) = 180
C + D = 90
Отже, точки перетину двох прямих лежать на взаємно перпендикулярних прямих, оскільки сума кутів в кожному з трикутників ACD і BCD дорівнює 90 градусам.
