Вопрос школьника
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 17:10, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30
Ответ от учителя
Пусть треугольник ABC имеет биссектрису AD, которая делит биссектрису CE в отношении 17:10. Пусть AC = b, AB = c и BC = a. Тогда мы знаем, что:
AD/CD = AB/BC
17/10 = c/a
Также мы знаем, что AD является биссектрисой угла A, поэтому мы можем использовать формулу для длины биссектрисы:
AD = 2bc/(b+c)
Теперь мы можем решить систему уравнений:
17/10 = c/a
AD = 2bc/(b+c)
30 = b + c
Первое уравнение можно переписать в виде c = 17a/10. Подставляя это во второе уравнение, получаем:
AD = 2b(17a/10)/(b+17a/10)
AD = 34ab/(b+17a)
Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы выразить b и c через AD:
b/sin(B) = c/sin(C)
b = c(sin(B)/sin(C))
b = (a*17/10)(sin(B)/sin(C))
c = (a)(sin(C)/sin(B))
c = (a)(sin(C)/(sin(B)*17/10))
Теперь мы можем выразить периметр треугольника через a и AD:
P = a + b + c
P = a + (a*17/10)(sin(B)/sin(C)) + (a)(sin(C)/(sin(B)*17/10))
P = a(1 + 17/10(sin(B)/sin(C)) + (sin(C)/sin(B)*17/10))
P = a(27/10 + 17/10(sin(B)/sin(C)))
Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы выразить sin(B)/sin(C) через AD:
cos(A/2) = AD/b
cos(A/2) = 2bc/(b+c)/b
cos(A/2) = 2c/(b+c)
cos(A/2) = 2(sin(B)/sin(C))/(1+sin(B)/sin(C))
sin(B)/sin(C) = 2cos(A/2)/(2-cos(A/2))
Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для периметра:
P = a(27/10 + 17/10(2cos(A/2)/(2-cos(A/2))))
P = a(27/10 + 34cos(A/2)/(2-cos(A/2)))
Таким образом, мы можем выразить периметр треугольника через длину стороны и угол A/2, который можно найти с помощью формулы для биссектрисы.
