Вопрос школьника
Одна из сторон треугольника на 1 см больше второй стороны и на 1 см меньше третьей. Найдите периметр треугольника, если косинус среднего но величине угла равен 2/3
Ответ от учителя
Пусть стороны треугольника равны a, b и c, где a > b + 1 и a < c - 1. Тогда можно записать систему уравнений: a = b + 1 + x a = c - 1 - y где x и y - некоторые числа. Из этих уравнений можно выразить b и c: b = a - 1 - x c = a + 1 + y Теперь воспользуемся формулой косинусов для нахождения третьей стороны: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) где C - угол между сторонами a и b. Подставляем выражения для a и b: (a + 1 + y)^2 = a^2 + (a - 1 - x)^2 - 2a(a - 1 - x) * 2/3 Раскрываем скобки и упрощаем: a^2 + 2a(y + 1) + (y + 1)^2 = a^2 + a^2 - 2a(a - 1 - x) * 2/3 + a - 2a(a - 1 - x) * 2/3 + (a - 1 - x)^2 Упрощаем: 2a(y + 1) + (y + 1)^2 = 2a^2/3 + 2ax/3 + 2a/3 + (a - 1 - x)^2 Далее можно решить эту квадратную уравнение относительно a и получить: a = (x + y + 2 + sqrt(3x^2 + 6xy + 3y^2 + 8x + 8y + 4)) / 4 Теперь можем выразить b и c: b = (x + y + sqrt(3x^2 + 6xy + 3y^2 + 8x + 8y + 4)) / 4 c = (3x + 3y + 6 - sqrt(3x^2 + 6xy + 3y^2 + 8x + 8y + 4)) / 4 И, наконец, находим периметр треугольника: P = a + b + c = (2x + 2y + 6) / 4 + sqrt(3x^2 + 6xy + 3y^2 + 8x + 8y + 4) / 4 + (3x + 3y + 6 - sqrt(3x^2 + 6xy + 3y^2 + 8x + 8y + 4)) / 4 Упрощаем: P = (5x + 5y + 12) / 4 Ответ: периметр треугольника равен (5x + 5y + 12) / 4.
