Вопрос школьника
Одна из сторон треугольника равна 3 см, а вторая сторона — v7 см, причем угол, противолежащий второй стороне, равен 60°. Найдите неизвестную сторону треугольника
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(C),
где c — неизвестная сторона треугольника, a и b — известные стороны, а C — угол между сторонами a и b.
В нашем случае известны стороны a = 3 см и b = v7 см, а также угол C = 60°. Найдем неизвестную сторону c:
c^2 = 3^2 + (v7)^2 — 2*3*v7*cos(60°)
c^2 = 9 + 7v^2 — 6v
c^2 = 7v^2 — 6v + 9
Для того чтобы найти значение c, нам нужно знать значение v. Для этого воспользуемся информацией о том, что угол, противолежащий стороне длиной v7 см, равен 60°. Так как треугольник является прямоугольным, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
(3)^2 + (v7)^2 = c^2
9 + 7v^2 = c^2
Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для c^2 и решить полученное квадратное уравнение:
7v^2 — 6v + 9 = 9 + 7v^2
-6v = 0
v = 0
Полученное решение не имеет смысла, так как длина стороны не может быть равна нулю. Следовательно, ошибка где-то в расчетах. Проверим, не допустили ли мы ошибку при вычислении косинуса угла 60°:
cos(60°) = 1/2
c^2 = 9 + 7v^2 — 3v7
c^2 = 9 + 21 — 3v7
c^2 = 30 — 3v7
7v^2 — 6v + 9 = 30 — 3v7
7v^2 + 3v7 — 6v — 21 = 0
v7 = (6 ± sqrt(36 + 4*7*21))/14
v7 = (6 ± 12)/14
v7 = 3/7 или v7 = 3
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то v7 = 3. Тогда неизвестная сторона c равна:
c^2 = 30 — 3*3
c^2 = 21
c = sqrt(21)
Ответ: неизвестная сторона треугольника равна sqrt(21) см.
