Вопрос школьника
Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60°. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Ответ от учителя
Пусть стороны треугольника обозначены как a, 2a и b, где a — меньшая сторона, а b — третья сторона. Угол между сторонами a и 2a равен 60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и 2a. Тогда гипотенуза этого треугольника равна √(a² + (2a)²) = √(5a²).
Так как сторона b является третьей стороной треугольника, то она должна быть меньше или равна гипотенузе прямоугольного треугольника, то есть b ≤ √(5a²).
Теперь рассмотрим квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника: (5a²). Если мы докажем, что b² = 4a² ≤ 5a², то мы докажем, что треугольник прямоугольный.
Действительно, так как b ≤ √(5a²), то b² ≤ 5a². Но также мы знаем, что b = 2a, поэтому 4a² ≤ 5a².
Таким образом, мы доказали, что b² = 4a² ≤ 5a², что означает, что треугольник прямоугольный.
