Вопрос школьника
Одна из сторон вписанного четырёхугольника является диаметром окружности. Докажите, что проекции сторон, прилегающих к этой стороне, на четвёртую сторону (на прямую, задающую четвёртую сторону) равны между собой.
Ответ от учителя
Пусть дан вписанный четырехугольник ABCD, в котором сторона AB является диаметром окружности. Проведем диагональ BD, которая является высотой треугольника ABD и перпендикулярна стороне AB. Также проведем высоту CE, которая перпендикулярна стороне CD.
Так как сторона AB является диаметром окружности, то угол ABD является прямым. Также угол BCD является прямым, так как сторона AB является диаметром. Значит, треугольники ABD и BCD являются прямоугольными.
Так как сторона AB является диаметром, то она делит окружность на две равные части. Значит, угол ACD равен углу ABD, так как они соответственные углы при параллельных прямых AC и BD.
Теперь рассмотрим проекции сторон AD и BC на прямую, задающую четвертую сторону. Обозначим эти проекции через P и Q соответственно.
Так как треугольники ABD и BCD являются прямоугольными, то проекции сторон AD и BC на прямую, задающую четвертую сторону, равны соответственно отрезкам BD и CD. Значит, нужно доказать, что отрезки BD и CD равны между собой.
Рассмотрим треугольник BCD. Так как угол BCD является прямым, то высота CE является медианой и биссектрисой угла BCD. Значит, отрезок BD делит сторону BC пополам.
Рассмотрим треугольник ABD. Так как угол ABD является прямым, то высота BD является медианой и биссектрисой угла ABD. Значит, отрезок BD делит сторону AD пополам.
Таким образом, отрезки BD и CD делят соответственно стороны BC и AD пополам. Значит, они равны между собой, что и требовалось доказать.
