Вопрос школьника
Одна сторона параллелограмма равна 29 м, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на другую сторону, делит ее на части, равные 31 м и 11 м. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет стороны AB = 29 м и BC = x м, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на сторону AB, делит ее на части AD = 31 м и DB = 11 м. Тогда мы можем нарисовать следующую схему:
«`
A———-D—-B
/ |
h / |
/ |
/ |
/ |
C———-|
x
«`
Здесь h — высота параллелограмма, опущенная на сторону AB, а x — другая сторона параллелограмма.
Из треугольника ADB мы можем найти высоту h:
h^2 = AD^2 — BD^2 = 31^2 — 11^2 = 840
h = sqrt(840) ≈ 28.99 м
Из треугольника ABC мы можем найти длину диагонали AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 29^2 + x^2
AC = sqrt(29^2 + x^2)
Из прямоугольного треугольника ACD мы можем найти длину CD:
CD^2 = AC^2 — AD^2 = 29^2 + x^2 — 31^2
CD = sqrt(29^2 + x^2 — 31^2)
Теперь мы можем найти площадь параллелограмма через высоту и длины сторон:
S = h * CD = sqrt(840) * sqrt(29^2 + x^2 — 31^2)
Осталось найти значение x. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
29^2 = 31^2 + 11^2
29^2 = 1022
x^2 = 1022 — 29^2
x = sqrt(1022 — 29^2) ≈ 22.62 м
Теперь мы можем подставить найденное значение x в формулу для площади:
S = sqrt(840) * sqrt(29^2 + 22.62^2 — 31^2) ≈ 580.57 м^2
Ответ: площадь параллелограмма равна примерно 580.57 м^2.
