Вопрос школьника
Одна зі сторін трикутника дорівнює 14 см і лежить проти кута 120°, а друга
сторона трикутника на 4 см менша за третю. Знайдіть периметр трикутника.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины двух других сторон треугольника и затем сложить все три стороны, чтобы найти периметр.
Известно, что одна сторона треугольника равна 14 см и лежит против угла 120°. Это означает, что мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длины других двух сторон.
Закон синусов гласит: отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трех сторон треугольника.
Таким образом, мы можем записать:
$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$
где a, b и c — длины сторон треугольника, а A, B и C — соответствующие им углы.
Мы знаем, что сторона a равна 14 см и лежит против угла 120°. Мы также знаем, что сторона b на 4 см меньше, чем сторона c. Поэтому мы можем записать:
$$a = 14 text{ см}, A = 120^circ$$
$$b = c — 4$$
Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длины сторон b и c:
$$frac{14}{sin 120^circ} = frac{c — 4}{sin B}$$
$$sin B = frac{(c — 4)sin 120^circ}{14}$$
$$frac{14}{sin 120^circ} = frac{b}{sin B}$$
$$sin B = frac{bsin 120^circ}{14}$$
Так как $sin 120^circ = sqrt{3}/2$, мы можем решить эти уравнения относительно b и c:
$$frac{14}{sqrt{3}/2} = frac{c — 4}{sin B}$$
$$c — 4 = frac{28}{sqrt{3}}sin B$$
$$frac{14}{sqrt{3}/2} = frac{b}{sin B}$$
$$b = frac{14sqrt{3}}{2} sin B$$
Теперь мы можем подставить выражение для $sin B$ в уравнение для c и получить:
$$c — 4 = frac{28}{sqrt{3}}frac{(c — 4)sin 120^circ}{14}$$
$$c — 4 = frac{4}{sqrt{3}}(c — 4)$$
$$c = frac{56}{sqrt{3}} + 4 = frac{56 + 4sqrt{3}}{3}$$
Теперь мы можем найти b, используя выражение, которое мы получили ранее:
$$b = frac{14sqrt{3}}{2} sin B = frac{14sqrt{3}}{2} frac{(c — 4)}{frac{28}{sqrt{3}}} = c — 4 = frac{56 + 4sqrt{3}}{3} — 4 = frac{44 + 4sqrt{3}}{3}$$
Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив длины всех трех сторон:
$$P = a + b + c = 14 + frac{44 + 4sqrt{3}}{3} + frac{56 + 4sqrt{3}}{3} = frac{114 + 8sqrt{3}}{3} approx 44.8 text{ см}$$
Ответ: периметр треугольника равен примерно 44.8 см.
