Вопрос школьника
Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10-2 м2 плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м3 и 1000 кг/м3 (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний π/5 с.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, если цилиндр плавает на границе двух жидкостей, то на него действуют две силы Архимеда, равные весу вытесненных объемов жидкостей.
Обозначим массу цилиндра через $m$, плотность более легкой жидкости — через $rho_1$, а плотность более тяжелой жидкости — через $rho_2$. Тогда объем вытесненной более легкой жидкости равен $V_1 = frac{m}{rho_1}$, а объем вытесненной более тяжелой жидкости равен $V_2 = frac{m}{rho_2}$. Следовательно, сила Архимеда, действующая на цилиндр со стороны более легкой жидкости, равна $F_1 = rho_1 g V_1 = m g$, а сила Архимеда, действующая на цилиндр со стороны более тяжелой жидкости, равна $F_2 = rho_2 g V_2 = frac{rho_2}{rho_1} m g$.
Так как цилиндр находится в равновесии, то сумма сил, действующих на него, равна нулю: $F_1 — F_2 = 0$. Отсюда получаем, что $m = frac{rho_1}{rho_2 — rho_1} cdot V_2 = frac{rho_1}{rho_2 — rho_1} cdot frac{m}{rho_2}$. Сокращая $m$ и $rho_2$, получаем, что масса цилиндра равна $m = frac{rho_1}{rho_2 — rho_1} cdot frac{V_2}{rho_2}$. Подставляя значения, получаем:
$$m = frac{800}{1000 — 800} cdot frac{10^{-2}}{1000} = 0.004 text{ кг}$$
Для определения периода малых вертикальных колебаний цилиндра воспользуемся формулой для периода колебаний математического маятника:
$$T = 2pi sqrt{frac{I}{mgd}}$$
где $I$ — момент инерции цилиндра относительно оси вертикального вращения, $d$ — расстояние от центра масс до оси вращения. Для цилиндра момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс и перпендикулярной его оси, равен $I = frac{1}{2} m R^2$, где $R$ — радиус цилиндра. Расстояние от центра масс до оси вращения равно радиусу цилиндра: $d = R$.
Таким образом, период колебаний цилиндра равен:
$$T = 2pi sqrt{frac{frac{1}{2} m R^2}{mgR}} = 2pi sqrt{frac{R}{2g}}$$
Подставляя значения, получаем:
$$T = 2pi sqrt{frac{0.05}{2cdot 9.81}} approx 0.5 text{ с}$$
Таким образом, масса цилиндра равна 0.004 кг, а период его малых вертикальных колебаний равен 0.5 с.
