Вопрос школьника
Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения s = 10 − 2 м2 плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей плотностями ρ1 = 800 кг/м3 и ρ2 = 1000 кг/м3. Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определить мессу цилиндра, если период его малых вертикальных колебаний Т = π/5 с.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться законом Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, если цилиндр плавает на границе двух жидкостей, то на него действуют две силы Архимеда, равные весу вытесненных объемов жидкостей.
Масса цилиндра может быть определена как сумма масс вытесненных объемов жидкостей. Обозначим через V1 и V2 объемы жидкостей, вытесненных цилиндром в каждой из жидкостей. Тогда масса цилиндра будет равна:
m = ρ1V1 + ρ2V2
Объемы V1 и V2 можно выразить через площадь поперечного сечения цилиндра S и его высоту h1 и h2 в каждой из жидкостей:
V1 = Sh1, V2 = Sh2
Высоты h1 и h2 можно найти, используя соотношение между давлением и плотностью жидкости:
p = ρgh
где p — давление жидкости, ρ — ее плотность, g — ускорение свободного падения, h — высота столба жидкости.
Давление на дне цилиндра одинаково в обеих жидкостях и равно атмосферному давлению. Таким образом, можно записать систему уравнений:
ρ1gh1 + ρ2gh2 = Pатм
h1 + h2 = h
где Pатм — атмосферное давление, h — высота цилиндра.
Решая эту систему уравнений, можно найти высоты h1 и h2:
h1 = h(ρ2 — ρ1)/(ρ2 + ρ1)
h2 = h(2ρ2)/(ρ2 + ρ1)
Подставляя найденные высоты в формулы для объемов V1 и V2, получаем:
V1 = S*h*(ρ2 — ρ1)/(ρ2 + ρ1)
V2 = S*h*2ρ2/(ρ2 + ρ1)
Теперь можно выразить массу цилиндра через известные величины:
m = ρ1V1 + ρ2V2 = S*h*(ρ1(ρ2 — ρ1)/(ρ2 + ρ1) + ρ2*2ρ2/(ρ2 + ρ1)) = S*h*(3ρ2 — ρ1)/(ρ2 + ρ1)
Осталось найти высоту цилиндра h. Для этого воспользуемся формулой для периода малых вертикальных колебаний цилиндра:
T = 2π*sqrt(I/(m*g*S))
где I — момент инерции цилиндра относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.
Для однородного цилиндра момент инерции можно выразить как:
I = (1/12)*m*L^2
где L — длина цилиндра.
Подставляя известные величины, получаем:
π/5 = 2π*sqrt((1/12)*m*L^2/(m*g*S))
g = (π/5)^2*(12*L^2)/(4π^2*S)
h = L/2
Теперь можно найти массу цилиндра:
m = S*h*(3ρ2 — ρ1)/(ρ2 + ρ1) = 10^-2*0.5*(3*1000 — 800)/(1000 + 800) = 1.06 кг
Ответ: масса цилиндра равна 1.06 кг.
