Вопрос школьника
Около единичной окружности описан квадрат. Найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата.
Ответ от учителя
Пусть центр единичной окружности находится в начале координат, а вершины квадрата лежат на оси координат и имеют координаты $(pm 1, 0)$ и $(0, pm 1)$. Рассмотрим произвольную точку на окружности с координатами $(cos theta, sin theta)$, где $0 leq theta < 2pi$. Расстояние от этой точки до вершины $(1, 0)$ равно $sqrt{(cos theta - 1)^2 + sin^2 theta}$. Аналогично, расстояния до остальных вершин равны $sqrt{(cos theta - 1)^2 + sin^2 theta}$, $sqrt{(cos theta + 1)^2 + sin^2 theta}$ и $sqrt{cos^2 theta + (sin theta - 1)^2}$. Тогда сумма квадратов расстояний равна: $$(sqrt{(cos theta - 1)^2 + sin^2 theta})^2 + (sqrt{(cos theta + 1)^2 + sin^2 theta})^2 + (sqrt{cos^2 theta + (sin theta - 1)^2})^2 + (sqrt{cos^2 theta + (sin theta + 1)^2})^2$$ $$= 2[(cos theta - 1)^2 + sin^2 theta] + 2[(cos theta + 1)^2 + sin^2 theta]$$ $$+ 2[cos^2 theta + (sin theta - 1)^2] + 2[cos^2 theta + (sin theta + 1)^2]$$ $$= 8 + 4cos^2 theta + 4sin^2 theta$$ $$= 12$$ Таким образом, сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата равна $12$.
