Вопрос школьника
Около окружности описана равнобедренная трапеция, длина средней линии которой равна 5 см, а синус острого угла при основании 0,8. Вычислите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть радиус описанной окружности равен R, а основания трапеции равны a и b (где a>b). Так как трапеция равнобедренная, то ее высота h равна:
h = √(R^2 — ((a-b)/2)^2)
Также из условия известно, что синус острого угла при основании равен 0,8, то есть:
sin(α) = h / ((a-b)/2) = 0,8
Отсюда можно выразить h:
h = 0,8 * ((a-b)/2)
Подставляя это выражение для h в первую формулу, получаем:
h = √(R^2 — ((a-b)/2)^2) = 0,8 * ((a-b)/2)
Возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные:
R^2 — ((a-b)/2)^2 = 0,64 * ((a-b)/2)^2
Раскрываем скобки и приводим подобные:
R^2 = 1,36 * ((a-b)/2)^2
Также из условия известно, что длина средней линии трапеции равна 5 см, то есть:
(a+b)/2 = 5
Отсюда можно выразить a-b:
a-b = 10 — b
Подставляем это выражение в предыдущее уравнение:
R^2 = 1,36 * ((10-b)/2)^2
Решаем уравнение относительно b:
b = 10 — 2 * √(R^2 / 1,36)
Теперь можем выразить a:
a = 10 — b = 2 * √(R^2 / 1,36)
Площадь трапеции равна:
S = ((a+b)/2) * h = 5 * h = 4 * h * sin(α)
Подставляем выражение для h и для sin(α):
S = 4 * 0,8 * ((a-b)/2) * ((a+b)/2) = 1,6 * (a^2 — b^2)
Подставляем выражения для a и b:
S = 1,6 * (4 * R^2 / 1,36) = 5,88 * R^2
Ответ: площадь трапеции равна 5,88 * R^2.
