Вопрос школьника
Около окружности описана равнобокая трапеция. Боковая сторона трапеции равна а, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен b. Найдите диаметр окружности.
Ответ от учителя
Пусть точки касания боковых сторон трапеции с окружностью обозначены как A и B, а середина боковой стороны трапеции как M. Так как трапеция равнобокая, то AM = MB. Также, так как AM и BM являются радиусами окружности, то они равны между собой и равны диаметру окружности. Обозначим этот диаметр как d.
Так как трапеция равнобокая, то ее диагонали равны. Обозначим длину диагонали трапеции как c. Тогда, по свойству равнобедренной трапеции, AM = BM = (c — a) / 2.
Также, по свойству касательной, AM и BM являются средними пропорционалами между отрезками, на которые точки касания A и B делят боковую сторону трапеции. Обозначим эти отрезки как x и y соответственно. Тогда, по свойству среднего пропорционала, AM^2 = x*y.
Из условия задачи известно, что x + y = a, а также что AB = b. Так как AM = BM, то x + y + 2*AM = a. Решая эту систему уравнений, можно выразить x и y через a и b:
x = (a + √(a^2 — 8*AM^2 + 8*b^2)) / 4
y = (a — √(a^2 — 8*AM^2 + 8*b^2)) / 4
Теперь можно выразить AM^2 через a и b:
AM^2 = (a^2 — 2*a*√(a^2 — 8*AM^2 + 8*b^2) + 8*b^2 — a^2) / 16
AM^2 = (2*b^2 — a*√(a^2 — 8*AM^2 + 8*b^2)) / 8
Подставляя выражение для AM^2 в уравнение AM = BM = d/2, получаем:
d = 2*AM = 2*√((2*b^2 — a*√(a^2 — 8*AM^2 + 8*b^2)) / 8)
Это выражение можно упростить, подставив выражение для AM^2:
d = √(2*b^2 — a*√(a^2 — 2*a*√(a^2 — 8*b^2) + 16*b^2))
Таким образом, диаметр окружности можно выразить через известные величины a и b.
