Вопрос школьника
Около окружности описана трапеция, длины боковых сторон которой равны 13 см и 15 см, а площадь равна 168 см2. Вычислите длины оснований трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны a и b, а высота равна h. Так как трапеция описана около окружности, то ее диагонали являются диаметрами этой окружности. Поэтому, согласно свойству трапеции, мы можем записать:
a + b = 2r
где r — радиус описанной окружности.
Также, по формуле для площади трапеции, мы можем записать:
S = (a + b)h/2
или
h = 2S/(a + b)
Теперь мы можем выразить радиус описанной окружности через длины оснований и высоту:
r = (a + b)/2h * √[(a + b)^2/4 — h^2]
Подставляя это выражение для r в формулу для площади окружности, получаем:
S = πr^2 = π(a + b)^2/4h^2 * [(a + b)^2/4 — h^2]
Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение относительно a и b:
13 + 15 = 2r
r = 14
h = 2S/(a + b) = 168/(13 + 15) = 8
S = π(a + b)^2/4h^2 * [(a + b)^2/4 — h^2] = 196π/64 * (a^2 + 2ab + b^2 — 64)
Заметим, что a + b = 28, поэтому мы можем записать:
S = π(28)^2/4h^2 * (a^2 + 2ab + b^2 — 64)
S = 49π/2 * (a^2 + 2ab + b^2 — 64)
168 = 49π/2 * (a^2 + 2ab + b^2 — 64)
a^2 + 2ab + b^2 = 232/π + 64
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ab
(a + b)^2 = 232/π + 64 + 2ab
28^2 = 232/π + 64 + 2ab
ab = (28^2 — 232/π — 64)/2 = 105.5
Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно a и b:
a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2 = (a + b)^2 — 4ab = 28^2 — 4*105.5 = 246.5
a — b = ±√246.5
a + b = 28
Решая эту систему уравнений, получаем:
a = (28 + √246.5)/2 ≈ 15.8
b = (28 — √246.5)/2 ≈ 12.2
Таким образом, длины оснований трапеции равны примерно 15.8 см и 12.2 см.
