Вопрос школьника
Около правильного пятиугольника А1А2А3А4А5 описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О1 окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой АС.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что у правильного пятиугольника все стороны и углы равны между собой. Поэтому, угол A1OA2 равен углу A2OA3, который в свою очередь равен углу A3OA4 и т.д. Таким образом, мы получаем, что углы A1OA2, A2OA3, A3OA4, A4OA5 и A5OA1 равны между собой и составляют 360 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. По условию, его вершинами являются середины сторон А1А2, А2А3 и А3А4 пятиугольника. Заметим, что сторона А1А2 является диаметром окружности, описанной вокруг пятиугольника, поэтому угол A1OA2 равен 90 градусов. Аналогично, углы B2OB3 и C3OC2 также равны 90 градусов.
Таким образом, мы получаем, что треугольник ABC является прямоугольным. При этом, центр окружности, описанной вокруг пятиугольника, лежит на пересечении его диагоналей, то есть на прямой АС. А центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на пересечении его биссектрис, то есть на прямой, проходящей через вершину прямого угла (то есть на прямой, проходящей через точку B).
Таким образом, чтобы доказать, что центры этих окружностей симметричны относительно прямой АС, нам нужно показать, что прямые АС и ВО1 перпендикулярны друг другу и пересекаются в середине отрезка ОО1.
Заметим, что угол A1OA2 равен углу B2OB3, так как они оба равны 90 градусов и лежат на одной окружности. Аналогично, угол A2OA3 равен углу C3OC2. Таким образом, мы получаем, что углы A1OA2 и B2OB3, а также углы A2OA3 и C3OC2 являются смежными и равными между собой.
Теперь рассмотрим треугольник АОО1. Угол АОО1 равен углу A1OA2, так как они оба равны 90 градусов и лежат на одной окружности. Аналогично, угол ОО1А равен углу B2OB3. Таким образом, мы получаем, что углы АОО1 и ОО1А являются смежными и равными между собой.
Таким образом, треугольник АОО1 является равнобедренным, а высота, опущенная из вершины О1, проходит через середину отрезка ОА. Значит, прямые АС и ВО1 перпендикулярны друг другу и пересекаются в середине отрезка ОО1, что и требовалось доказать.
