Вопрос школьника
Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD описана сфера. Вычислите радиус этой сферы, если длина стороны основания равна 4 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Ответ от учителя
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду SABCD, у которой сторона основания равна 4 см. Так как пирамида правильная, то все ее боковые грани равнобедренные треугольники, а высота пирамиды проходит через центр основания и перпендикулярна ему.
Пусть O – центр описанной сферы, а R – ее радиус. Так как сфера описана около пирамиды, то ее центр лежит на пересечении высот пирамиды, а значит, находится на расстоянии h/3 от каждой из вершин пирамиды, где h – высота пирамиды.
Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника SAB:
AB² = SA² + SB² = 4² + 2² = 20
AB = √20 = 2√5
Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°, то высота пирамиды равна h = 2√3 см.
Теперь можем найти расстояние от центра описанной сферы до вершины пирамиды:
d = h/3 = (2√3)/3
Осталось найти радиус описанной сферы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника OAD:
OA² = d² + AD² = (2√3/3)² + 2² = 4/3 + 4 = 16/3
OA = √(16/3) = (4/√3)·(√3/3) = (4/√3)·√3/√3 = 4/√3
Таким образом, радиус описанной сферы равен 4/√3 см.
