Вопрос школьника
Окружность, центр которой принадлежит гипотенуза прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см,
Ответ от учителя
Пусть центр окружности находится на гипотенузе в точке O, а вершина противолежащего острого угла находится в точке A. Также пусть точка касания окружности с большим катетом находится в точке B.
Так как окружность касается большего катета, то точка B лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности на больший катет. Пусть этот перпендикуляр пересекает больший катет в точке C.
Так как треугольник прямоугольный, то точки B, O и C лежат на одной прямой. Также из условия задачи следует, что угол OAB является прямым, так как окружность проходит через вершину противолежащего острого угла.
Таким образом, треугольник OAB является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояния между точками O и B:
OB^2 = OA^2 — AB^2
Так как точка A находится на гипотенузе, то ее расстояние до точки O равно половине длины гипотенузы:
OA = (5^2 + 12^2)^(1/2) / 2 = 6.5 см
Также мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка AB:
AB^2 = AC^2 + CB^2 = (12 — OC)^2 + 5^2
Так как OC является высотой треугольника OCB, то он равен радиусу окружности. Поэтому мы можем записать:
AB^2 = (12 — OC)^2 + 5^2 = (12 — r)^2 + 25
где r — радиус окружности.
Теперь мы можем подставить найденные значения в первое уравнение и решить его относительно r:
OB^2 = OA^2 — AB^2
r^2 = 6.5^2 — [(12 — r)^2 + 25]
r^2 = 42.25 — (144 — 24r + r^2 + 25)
2r^2 — 24r + 116 = 0
r^2 — 12r + 58 = 0
Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня:
r1 = 6 + 2^(1/2) ≈ 8.24 см
r2 = 6 — 2^(1/2) ≈ 3.76 см
Так как радиус окружности не может быть отрицательным, то мы выбираем больший корень:
r = r1 ≈ 8.24 см
Ответ: радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен примерно 8.24 см.
