Вопрос школьника
Окружность, центр которой принадлежит стороне АВ треугольника ABC, проходит через точку В, касается стороны АС в точке С и пересекает сторону АВ в точке D, причём AD : BD =1:2. Найдите углы: 1) треугольника АВС 2) треугольника BCD.
Ответ от учителя
1) Треугольник АВС является прямоугольным, так как окружность, касающаяся стороны АС в точке С, является вписанной в треугольник АВС. Следовательно, угол ВАС равен 90 градусов. Также из условия задачи известно, что центр окружности лежит на стороне АВ, следовательно, угол ВАС равен углу ВАС. Из этих двух равенств следует, что угол ВАС равен 45 градусов. Также из условия задачи известно, что AD : BD = 1:2, следовательно, угол АBD равен углу ACD. Так как угол ВАС равен 45 градусов, то угол АCD равен 22.5 градусов, а угол АBD равен 67.5 градусов. Таким образом, углы треугольника АВС равны: угол А = 90 градусов, угол В = 45 градусов, угол С = 45 градусов.
2) Треугольник BCD также является прямоугольным, так как точка В лежит на окружности, проходящей через точки B и C. Следовательно, угол BCD равен 90 градусов. Также из условия задачи известно, что окружность касается стороны АС в точке С, следовательно, угол BDC равен углу С. Так как угол С равен 45 градусов, то угол BDC также равен 45 градусов. Таким образом, углы треугольника BCD равны: угол B = 45 градусов, угол C = 45 градусов, угол D = 90 градусов.
