Вопрос школьника
Окружность касается боковых сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC в точках M и N, а также окружности, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка MN является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.
Ответ от учителя
Пусть точка O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точки P и Q — точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами AB и AC соответственно. Также пусть точки M и N — точки касания окружности, описанной около треугольника ABC, с боковыми сторонами AB и AC соответственно.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM = BM и AN = CN. Также, так как окружность, описанная около треугольника ABC, касается сторон AB и AC в точках M и N соответственно, то AM = MN = NC.
Рассмотрим треугольник MPN. Так как точки M и N лежат на окружности, описанной около треугольника ABC, то углы AMN и ACB равны (так как они опираются на дугу AC). Аналогично, углы ANM и ABC равны. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы ACB и ABC равны. Следовательно, углы AMN и ANM равны, то есть треугольник MPN равнобедренный.
Так как MP = NP (так как треугольник MPN равнобедренный), то точка P лежит на биссектрисе угла BAC. Аналогично, точка Q лежит на биссектрисе угла BAC. Следовательно, точки P, Q и O лежат на одной прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника ABC и перпендикулярной стороне BC.
Так как точки M и N лежат на окружности, описанной около треугольника ABC, то OM = ON. Также, так как точки P и Q лежат на биссектрисе угла BAC, то OP = OQ. Следовательно, точка O является серединой отрезка PQ.
Таким образом, мы доказали, что точка O лежит на биссектрисе угла BAC и является серединой отрезка PQ. Следовательно, она является центром вписанной окружности треугольника ABC. Также, так как точки M и N лежат на окружности, описанной около треугольника ABC, то середина отрезка MN также лежит на этой окружности.
