Вопрос школьника
Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла, а ее центр лежит на гипотенузе. Вычислите площадь круга, ограниченного этой окружностью, если длины катетов равны 3 см и 4 см.
Ответ от учителя
Пусть центр окружности на гипотенузе лежит на расстоянии $x$ от вершины прямого угла. Тогда, поскольку окружность касается большего катета, ее радиус равен $4-x$. Также, поскольку окружность проходит через вершину противолежащего острого угла, ее радиус равен расстоянию от этой вершины до центра окружности, то есть $x$. Получаем уравнение:
$$4-x=x$$
Откуда $x=2$. Значит, радиус окружности равен $4-2=2$ см, а ее площадь равна $pi r^2 = pi cdot 2^2 = 4pi$ квадратных сантиметров.
