Вопрос школьника
Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки, длины которых равны 2 см и 23 см. Вычислите радиус окружности
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда, по условию, окружность касается двух смежных сторон квадрата, то есть ее центр лежит на перпендикуляре к этим сторонам, проходящем через середину третьей стороны. Это означает, что расстояние от центра окружности до любой из касательных сторон равно радиусу окружности.
Пусть точка касания окружности со стороной длины 2 см находится на расстоянии x от вершины квадрата, а точка касания со стороной длины 23 см находится на расстоянии y от этой же вершины. Тогда, используя свойства квадрата и прямоугольного треугольника, можно записать следующие уравнения:
x + y = a (так как расстояние от точки касания до вершины квадрата равно длине стороны квадрата)
x + r = 2 (так как расстояние от центра окружности до касательной стороны длины 2 см равно радиусу окружности)
y + r = 23 (так как расстояние от центра окружности до касательной стороны длины 23 см равно радиусу окружности)
Отсюда можно выразить x и y через r:
x = a — y
r = 2 — x = 2 — (a — y) = y — (a — 2)
r = 23 — y
Приравняв эти два выражения для r, получим уравнение:
y — (a — 2) = 23 — y
Отсюда можно выразить y:
y = (a — 21) / 2
Подставляя это выражение для y в одно из уравнений для r, получим:
r = 23 — (a — 21) / 2 = (25 — a) / 2
Таким образом, радиус окружности равен (25 — a) / 2. Остается только подставить значение a = 23 (так как одна из сторон квадрата делится на отрезки длины 2 см и 23 см) и вычислить радиус:
r = (25 — 23) / 2 = 1
Ответ: радиус окружности равен 1 см.
