Вопрос школьника
Окружность касается каждой из двух окружностей с общим центром. Докажите, что длина одной из этих окружностей равна полуразности длин двух других.
Ответ от учителя
Пусть даны три окружности с общим центром $O$, причем окружность $A$ касается окружностей $B$ и $C$. Обозначим радиусы этих окружностей как $r_A$, $r_B$ и $r_C$ соответственно.
Так как окружность $A$ касается окружностей $B$ и $C$, то расстояние между центрами окружностей $A$ и $B$ равно $r_A + r_B$, а расстояние между центрами окружностей $A$ и $C$ равно $r_A + r_C$. Также заметим, что расстояние между центрами окружностей $B$ и $C$ равно $r_B + r_C$.
Рассмотрим треугольник $OAB$. По теореме Пифагора имеем:
$$OA^2 = OB^2 + AB^2$$
Заменим $OA$ на $r_A$, $OB$ на $r_B + r_A$ и $AB$ на $r_B — r_A$:
$$r_A^2 = (r_B + r_A)^2 + (r_B — r_A)^2$$
Раскроем скобки и упростим:
$$r_A^2 = 2r_B^2 + 2r_Ar_B$$
Отсюда получаем:
$$r_A^2 — 2r_Ar_B — 2r_B^2 = 0$$
Решая это квадратное уравнение относительно $r_A$, получаем:
$$r_A = r_B pm sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2}$$
Заметим, что знак перед корнем должен быть минус, так как $r_A < r_B + r_C$. Таким образом, получаем: $$r_A = r_B - sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2}$$ Теперь заметим, что длина окружности $A$ равна $2pi r_A$, а длины окружностей $B$ и $C$ равны $2pi r_B$ и $2pi r_C$ соответственно. Тогда: $$2pi r_A = 2pi r_B - 2pi sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2}$$ $$pi r_A + pi sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2} = pi r_B$$ $$pi r_A = pi r_B - pi sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2}$$ $$pi r_A = frac{pi}{2}(r_B - r_C - sqrt{r_B^2 + 2r_Br_C + r_C^2})$$ Таким образом, мы доказали, что длина окружности $A$ равна полуразности длин двух других окружностей.
