Вопрос школьника
Окружность касается одной из сторон угла в его вершине — точке А и пересекает другую сторону в точке В. Величина угла равна 40°; М — точка на меньшей дуге АВ. Найдите угол AM В.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится несколько свойств окружностей и треугольников.
1. Угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла, соответствующего дуге, заключенной между этой хордой и точкой касания.
2. Угол, образованный хордой и секущей, равен половине разности углов, соответствующих дугам, заключенным между этой хордой и точками пересечения с окружностью.
3. В треугольнике, вписанном в окружность, угол, противолежащий диаметру, равен 90°.
Используя эти свойства, мы можем решить задачу следующим образом:
1. Обозначим точку касания окружности с стороной угла АВ как С.
2. По свойству 1, угол АСВ равен половине угла, соответствующего дуге АВ, то есть 20°.
3. По свойству 3, угол АСД (где D — середина дуги АВ) равен 90°.
4. Так как угол А равен 40°, то угол САД равен 70°.
5. По свойству 2, угол АМВ равен половине разности углов, соответствующих дугам АМ и МВ. Дуга АМ равна сумме дуг АС и СМ, а дуга МВ равна разности дуг МС и СВ.
6. Дуга АС равна 2*20° = 40°, дуга СМ равна 180° — угол АСД — угол САМ = 70° — 20° = 50°, дуга МС равна 180° — угол АСД — угол СМВ = 70° — 20° = 50°, дуга СВ равна 2*20° = 40°.
7. Таким образом, угол АМВ равен половине разности 40° + 50° и 50° — 40°, то есть 5°.
Ответ: угол AMВ равен 5°.
