Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q, причем PQ || BC. Докажите, что AB = AC.
Ответ от учителя
Пусть O — центр окружности, которая касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Так как PQ || BC, то угол AQP равен углу ABC, а угол APQ равен углу ACB (по свойству касательных). Также угол AOP равен углу AOQ, так как это соответствующие углы при параллельных прямых PQ и BC.
Рассмотрим треугольник AOP. Угол AOP равен углу AOQ, а угол OAP равен углу OAQ (так как OP и OQ являются касательными к окружности). Значит, треугольник AOP равен треугольнику AOQ по двум углам и стороне AO. Следовательно, сторона AP равна стороне AQ.
Теперь рассмотрим треугольник APQ. Он равнобедренный, так как сторона AP равна стороне AQ, а углы AQP и APQ равны. Значит, сторона PQ также равна стороне PA и стороне QA.
Таким образом, получаем, что сторона AB равна сумме сторон AP и PQ, а сторона AC равна сумме сторон AQ и PQ. Но так как сторона AP равна стороне AQ и сторона PQ равна сама себе, то AB равно AC.
Итак, мы доказали, что если окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q, причем PQ || BC, то AB = AC.
