Вопрос школьника
Окружность называется вневписанной по отношению к данному треугольнику, если она касается одной стороны и продолжения двух других сторон этого треугольника (рис. 38.6). Докажите, что для любого треугольника существуют вневписанные окружности. Сколько таких окружностей? Где находятся их центры?
Ответ от учителя
Для доказательства того, что для любого треугольника существуют вневписанные окружности, можно воспользоваться следующими рассуждениями.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть D, E и F – середины сторон BC, AC и AB соответственно. Тогда окружность, проходящая через точки D, E и F, называется окружностью Эйлера треугольника ABC.
Докажем, что окружность Эйлера треугольника ABC является вневписанной окружностью по отношению к этому треугольнику.
Для этого заметим, что точки D, E и F являются центрами вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и CDE соответственно. Таким образом, окружность, проходящая через точки D, E и F, касается сторон AB, BC и AC в точках F, D и E соответственно. При этом продолжения сторон AB, BC и AC пересекаются в точке O – центре окружности Эйлера.
Таким образом, окружность Эйлера является вневписанной окружностью по отношению к треугольнику ABC. Кроме того, для любого треугольника существует только одна окружность Эйлера, следовательно, существует ровно одна вневписанная окружность.
Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного стороной, касающейся этой окружности, и продолжения двух других сторон треугольника. Таким образом, для треугольника ABC существуют три вневписанные окружности, центры которых лежат на биссектрисах углов треугольника.
