Вопрос школьника
Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторону АВ в точке К так, что ∠ACK — ∠BCK. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
Ответ от учителя
Пусть окружность, построенная на стороне АС как на диаметре, пересекает сторону АВ в точке К. Тогда, по свойству окружности, угол АКС прямой, где С — середина стороны ВС треугольника ABC, а Х — точка пересечения окружности и стороны АС.
Также, по условию задачи, ∠ACK — ∠BCK. Обозначим эти углы через α. Тогда угол АКС равен 90°, а угол АКС + угол КСВ + угол ВКС = 180° (сумма углов треугольника). Значит, угол КСВ + угол ВКС = 90°.
Так как угол АКС прямой, то угол КСВ + угол ВКС = угол АКВ. Но угол АКВ = угол АКС + угол СКВ = 90° + угол СКВ. Значит, угол СКВ = 0°, то есть точка К совпадает с точкой С.
Таким образом, мы получили, что сторона АС является диаметром окружности, проходящей через точки А, С и К. Значит, угол АКС = 90°, а угол АКВ = 180° — угол АКС — угол СКВ = 90°. То есть, угол АКВ также прямой.
Таким образом, мы доказали, что углы при вершинах А и В треугольника ABC равны между собой, то есть треугольник ABC является равнобедренным.
