Вопрос школьника
Окружность, проходящая через вершины тупых и одного из острых углов ромба, пересекает большую диагональ. Точка пересечения делит эту диагональ на части, длины которых равны 5 см и 7/5 см. Вычислите длину стороны ромба.
Ответ от учителя
Пусть ромб ABCD имеет диагонали AC и BD, причем AC является большей диагональю. Пусть точка пересечения окружности, проходящей через вершины тупых и одного из острых углов ромба, с большей диагональю AC находится на расстоянии x от точки пересечения диагоналей O.
Так как точка пересечения окружности лежит на диагонали AC, то ее расстояние от точки O равно половине длины диагонали AC, то есть 6 см. Тогда расстояние от точки пересечения окружности до точки A или точки C равно 6 — x.
По условию задачи, точка пересечения диагонали AC делит ее на отрезки длиной 5 см и 7/5 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:
5 / (6 — x) = 7 / (x + 6)
Решая это уравнение, мы получаем x = 9 см.
Теперь мы можем найти длину большей диагонали AC, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2 = 6^2 + (6 — x)^2 = 72
AC = √72 = 6√2 см
Так как диагонали ромба равны, то BD также равна 6√2 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:
BC^2 = BD^2 — CD^2 = (6√2)^2 — (7/5)^2 = 72 — 49/25 = 1676/25
BC = √(1676/25) = (2√419) / 5 см
Таким образом, длина стороны ромба AB (или любой другой стороны) равна BC / √2:
AB = BC / √2 = ((2√419) / 5) / √2 = (√419) / 5 * √2 см
Ответ: длина стороны ромба равна (√419) / 5 * √2 см.
