Вопрос школьника
Окружность радиуса r касается изнутри окружности радиуса R. Найдите радиус третьей окружности, которая касается обеих данных и прямой, проходящей через их центры.
Ответ от учителя
Пусть центры окружностей обозначены как O1 и O2, а радиусы как r и R соответственно. Третья окружность касается обеих окружностей, поэтому ее центр лежит на линии, соединяющей центры O1 и O2. Пусть расстояние между центрами окружностей равно d.
Также пусть радиус третьей окружности равен r3. Тогда, чтобы третья окружность касалась прямой, проходящей через центры O1 и O2, ее центр должен лежать на перпендикуляре к этой прямой, проходящем через ее середину. Пусть M — середина отрезка O1O2.
Тогда третья окружность касается прямой, проходящей через центры, если и только если ее центр лежит на расстоянии r3 от точки M. Также третья окружность касается внутренней окружности в точке T1 и внешней окружности в точке T2.
Рассмотрим треугольник O1T1C, где C — центр третьей окружности. Он прямоугольный, так как T1C — радиус окружности, а OT1 и OC — соответственно перпендикуляры к одной и той же прямой. Тогда по теореме Пифагора:
OT1^2 = OC^2 + CT1^2
d — r — r3)^2 = (d — R — r3)^2 + r^2
d^2 — 2d(r + r3) + (r + r3)^2 = d^2 — 2d(R + r3) + (R + r3)^2 + r^2
2d(R — r) = (R + r)^2 — r^2
d = (R + r)^2 / 2(R — r)
Теперь можем выразить r3:
r3 = d — R = (R + r)^2 / 2(R — r) — R
Таким образом, мы получили формулу для радиуса третьей окружности, которая касается изнутри окружности радиуса R и окружности радиуса r и прямой, проходящей через их центры.
