Вопрос школьника
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7.5, а AB=2
Ответ от учителя
Пусть точка касания окружности с прямой AB называется D. Так как окружность касается прямой AB в точке B, то отрезок BD является радиусом окружности. Также, так как окружность проходит через вершину C, то отрезок CD также является радиусом окружности. Обозначим радиус окружности как r.
Так как BD является радиусом окружности, то он перпендикулярен к AB. Также, так как AD является радиусом окружности, то он перпендикулярен к AC. Обозначим отрезок AC как x.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Так как AB=2, то AB^2=4. Также, так как BD является радиусом окружности, то он равен r. Таким образом, по теореме Пифагора для треугольника BCD:
BC^2 + BD^2 = r^2
Так как CD является радиусом окружности, то он также равен r. Таким образом, по теореме Пифагора для треугольника ACD:
AD^2 + CD^2 = x^2
Так как окружность проходит через вершину C, то она является описанной окружностью треугольника ABC. Таким образом, ее радиус равен половине диаметра, то есть 3.75. Так как CD является радиусом этой окружности, то CD=3.75.
Таким образом, у нас есть система уравнений:
AB^2 + BC^2 = AC^2
BC^2 + BD^2 = r^2
AD^2 + CD^2 = x^2
CD = r/2 = 3.75
Подставим известные значения:
2^2 + BC^2 = x^2
BC^2 + r^2 = r^2
AD^2 + 3.75^2 = x^2
Упростим второе уравнение:
BC^2 = 0
Таким образом, BC=0, что означает, что точки B и C совпадают. Так как это невозможно в треугольнике, то такой окружности не существует.
Ответ: такой окружности не существует.
