Вопрос школьника
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=6, AC=10
Ответ от учителя
Пусть точка касания окружности с прямой AB называется D. Тогда, по свойству касательной, угол BDC прямой. Также, по свойству окружности, угол BAC равен углу BDC (они опираются на одну и ту же дугу BC).
Таким образом, угол BAC также прямой. Из прямоугольного треугольника ABC можно найти длину BC по теореме Пифагора:
BC^2 = AC^2 — AB^2 = 100 — 36 = 64
BC = 8
Теперь мы знаем, что окружность проходит через точки C и D, и ее центр лежит на отрезке AC. Пусть центр окружности называется O. Тогда OC = AC/2 = 5.
Также, по свойству касательной, угол ODB равен углу BAC, то есть он также прямой. Из треугольника ODB можно найти OD:
OD^2 = OB^2 — BD^2
Но мы не знаем ни одной из этих величин. Однако, мы можем заметить, что треугольник OBC является прямоугольным, так как угол OCB равен углу ACB (они опираются на одну и ту же дугу BC). Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:
OB^2 = OC^2 + BC^2 = 5^2 + 8^2 = 89
Теперь мы можем найти OD:
OD^2 = OB^2 — BD^2 = 89 — (AB/2)^2 = 89 — 3^2 = 80
OD = √80 = 4√5
Таким образом, диаметр окружности равен 2OD = 8√5.
