Вопрос школьника
Окружность с центром в точке О и радиусом R описана около треугольника ABC (рис. 365). Найдите R по данным на рисунке.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство описанной окружности треугольника, которое гласит: «Описанная окружность треугольника проходит через вершины треугольника и ее центр находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника из их середин».
Из рисунка видно, что точка О является центром описанной окружности треугольника ABC. Проведем перпендикуляры к сторонам треугольника из их середин. Обозначим середины сторон треугольника как M, N и P соответственно.
Таким образом, мы получим три пересекающихся в точке О перпендикуляра, которые делятся на две равные части. Радиус описанной окружности R будет равен расстоянию от центра О до любой из вершин треугольника ABC.
Для нахождения радиуса R нам нужно найти длину отрезка OM. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника AOM:
OM^2 = OA^2 — AM^2
Заметим, что OA равно R, а AM равно половине стороны AB, то есть AM = AB/2. Таким образом, мы можем записать:
OM^2 = R^2 — (AB/2)^2
Аналогично, для прямоугольного треугольника BOM мы можем записать:
OM^2 = R^2 — (BC/2)^2
Из этих двух уравнений мы можем выразить R:
R^2 — (AB/2)^2 = R^2 — (BC/2)^2
(AB/2)^2 — (BC/2)^2 = R^2 — R^2
(AB/2)^2 — (BC/2)^2 = 0
AB^2 — BC^2 = 0
AB^2 = BC^2
Таким образом, мы получили, что стороны треугольника AB и BC равны между собой. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, а высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Из этого следует, что радиус описанной окружности R равен длине высоты, проведенной к основанию треугольника. Для нахождения этой высоты нам нужно воспользоваться формулой для высоты равнобедренного треугольника:
h = sqrt(AB^2 — (BC/2)^2)
Подставляя значения из рисунка, мы получаем:
h = sqrt(10^2 — (8/2)^2) = sqrt(84) = 2*sqrt(21)
Таким образом, радиус описанной окружности R равен 2*sqrt(21).
