Вопрос школьника
Окружность вписана в равнобедренную трапецию, а ее боковая сторона точкой касания делится на отрезки, длины которых равны 4 см и 9 см. Вычислите длину окружности, вписанной в трапецию.
Ответ от учителя
Пусть AB и CD – основания трапеции, а EF – боковая сторона, касающаяся окружности в точке G. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Обозначим эту длину через x.
Также заметим, что точка G является серединой отрезка EF. Поэтому EG = 4 см, а GF = 9 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник EGF. По теореме Пифагора:
$EF^2 = EG^2 + GF^2 = 4^2 + 9^2 = 97$
Следовательно, EF = √97 см.
Так как точка G является точкой касания окружности, то EG и GF являются радиусами этой окружности. Обозначим радиус через r.
Тогда по теореме касательной:
$EG cdot GF = r^2$
$4 cdot 9 = r^2$
$r = 6$
Теперь мы знаем радиус вписанной окружности. Для вычисления длины окружности воспользуемся формулой:
$L = 2pi r$
$L = 2pi cdot 6 = 12pi$
Ответ: длина окружности, вписанной в трапецию, равна 12π см.
