Вопрос школьника
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, основанием которого является отрезок АС, касается боковой стороны ВС в точке F. Найдите радиус вписанной окружности, если АС = а и BF = m.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то у него две равные боковые стороны AB и BC. Пусть длина каждой из них равна b. Тогда длина основания AC равна а.
Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как окружность касается стороны ВС в точке F, то отрезок BF является радиусом окружности. Значит, BF = r.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, опущенная на основание AC, является медианой и биссектрисой. Пусть высота равна h.
Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABF:
$$(frac{b}{2})^2 + r^2 = h^2$$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике ACF:
$$(frac{a}{2})^2 + r^2 = h^2$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$(frac{b}{2})^2 — (frac{a}{2})^2 = 0$$
$$(frac{b}{2})^2 = (frac{a}{2})^2$$
$$b = a$$
Таким образом, мы получили, что основание треугольника равно его боковой стороне. Значит, треугольник ABC является равнобедренным и равносторонним.
Тогда высота h равна:
$$h = sqrt{(frac{a}{2})^2 — r^2}$$
Из равенства сторон треугольника ABC получаем:
$$b + 2r = a$$
$$r = frac{a — b}{2} = frac{a — a}{2} = 0$$
Таким образом, радиус вписанной окружности равен нулю, что означает, что такой окружности не существует. Вероятно, в условии была допущена ошибка.
