Вопрос школьника
Окружность, вписанная в треугольник ABC (рис. 308), касаясь его сторон в точках М, К i Е, АВ = 13 см, ВС = 8 см, ВК = 3 см. Найдите сторону АС
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанной окружности треугольника: касательная к окружности, проведенная в точке касания, делит соответствующую сторону на две отрезка, равные по длине.
Обозначим точку касания окружности со стороной АС через L. Тогда AL = LC.
Также обозначим точку пересечения сторон АС и ВК через N.
Заметим, что треугольник ВКН подобен треугольнику ВАС, так как угол ВКН равен углу ВАС (они соответственные), а угол ВНК равен углу ВСА (они соответственные). Таким образом, мы можем записать пропорцию:
$frac{VK}{AC} = frac{KN}{AS}$
Подставим известные значения:
$frac{3}{AC} = frac{KN}{AS}$
Теперь заметим, что треугольник АМL также подобен треугольнику ВАС, так как угол АМЛ равен углу ВАС (они соответственные), а угол АЛМ равен углу АСВ (они также соответственные). Таким образом, мы можем записать еще одну пропорцию:
$frac{AL}{AC} = frac{ML}{AS}$
Подставим известные значения:
$frac{AL}{AC} = frac{ML}{AS}$
$frac{AL}{AC} = frac{13-8-3}{AS}$
$frac{AL}{AC} = frac{2}{AS}$
$AS = frac{2AC}{AL}$
Теперь заметим, что треугольник АМL прямоугольный, так как угол АМЛ равен 90 градусов (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания). Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора:
$AL^2 + ML^2 = AM^2$
$AL^2 + left(frac{AC}{2}right)^2 = left(frac{AS}{2}right)^2$
$AL^2 + frac{AC^2}{4} = frac{AC^2}{AL^2} cdot frac{AC^2}{4}$
$4AL^2 + AC^2 = frac{AC^4}{AL^2}$
$4AL^4 + AC^2AL^2 — AC^4 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно AL^2:
$AL^2 = frac{-AC^2 pm sqrt{AC^4 + 16AC^4}}{8}$
$AL^2 = frac{-AC^2 pm 2AC^2sqrt{5}}{8}$
$AL^2 = frac{-1 pm sqrt{5}}{4} cdot AC^2$
Так как AL и AC положительны, то мы выбираем знак плюс. Таким образом, мы получаем:
$AL^2 = frac{-1 + sqrt{5}}{4} cdot AC^2$
$AL = sqrt{frac{-1 + sqrt{5}}{4}} cdot AC$
Теперь мы можем подставить это выражение для AL в формулу для AS:
$AS = frac{2AC}{AL}$
$AS = frac{2AC}{sqrt{frac{-1 + sqrt{5}}{4}} cdot AC}$
$AS = 2sqrt{frac{2}{-1 + sqrt{5}}} cdot AC$
$AS = 2sqrt{5 + 2sqrt{5}} cdot AC$
$AS = 2sqrt{5}(sqrt{5} + 1) cdot AC$
Таким образом, мы получили выражение для стороны АС через сторону ВС:
$AS = 2sqrt{5}(sqrt{5} + 1) cdot AC$
$AC + AS + CS = AB + BC + AC$
$AC + 2sqrt{5}(sqrt{5} + 1) cdot AC + AC = 13 + 8 + AC$
$4sqrt{5} cdot AC = 21$
$AC = frac{21}{4sqrt{5}}$
$AC = frac{21sqrt{5}}{20}$
Таким образом, сторона АС равна:
$AS = 2sqrt{5}(sqrt{5} + 1) cdot AC$
$AS = 2sqrt{5}(sqrt{5} + 1) cdot frac{21sqrt{5}}{20}$
$AS = 21sqrt{10}$
Ответ: сторона АС равна 21√10 см.
