Вопрос школьника
Окружность, вписанная в треугольник ABC (рис. 308), касаясь его сторон в точках М, К i Е, ВК = 2 см, КС = 4 см, AM = 8 см. Найдите периметр треугольника ABC
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки М, К и Е являются точками касания вписанной окружности с соответствующими сторонами треугольника ABC. Также заметим, что отрезки ВК и КС являются отрезками касательных, проведенных из точки К к вписанной окружности.
Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда, по свойству касательных, отрезки ВК и КС равны соответственно r+2 и r+4.
Также заметим, что треугольник АМК является прямоугольным, так как точка касания М лежит на высоте, опущенной из вершины А. Из этого следует, что
$AM^2 + MK^2 = AK^2$
$8^2 + r^2 = (r+2)^2$
$64 + r^2 = r^2 + 4r + 4$
$4r = 60$
$r = 15$
Теперь мы знаем радиус вписанной окружности. Для нахождения периметра треугольника ABC нам нужно найти длины его сторон.
Для этого заметим, что треугольник АМК подобен треугольнику ABC, так как угол АКМ является общим, а углы АМК и АBC являются соответственными. Из этого следует, что
$frac{AK}{AB} = frac{AM}{AC}$
$frac{r+2}{b} = frac{8}{c}$
$b = frac{c(r+2)}{8}$
Аналогично, из подобия треугольников АКЕ и ABC получаем, что
$frac{r+4}{c} = frac{a}{b}$
$a = frac{b(r+4)}{c}$
Теперь осталось найти только одну сторону треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника, выраженной через радиус вписанной окружности:
$S = pr$
где p — полупериметр треугольника.
Из этой формулы следует, что
$p = frac{S}{r}$
$p = frac{sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{r}$
$p = frac{sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{r}$
$p^2r^2 = (p-a)(p-b)(p-c)$
Подставляя выражения для a, b и c, получаем
$p^2r^2 = frac{c(r+2)}{8} cdot frac{c(r+4)}{8} cdot frac{c(r+8)}{8}$
$p^2r^2 = frac{c^3(r+2)(r+4)(r+8)}{512}$
$p^2 = frac{c^2(r+2)(r+4)(r+8)}{512}$
$p = sqrt{frac{c^2(r+2)(r+4)(r+8)}{512}}$
Теперь мы знаем все стороны треугольника ABC и можем найти его периметр:
$P = a + b + c$
$P = frac{b(r+4)}{c} + b + frac{c(r+2)}{8}$
$P = frac{b(r+4)}{c} + frac{c(r+2)}{8} + frac{c(r+4)}{c}$
$P = frac{b(r+4) + c(r+2) + 8(r+4)}{c}$
$P = frac{bc + 12b + 8c + 32}{c}$
$P = b + frac{12b+32}{c} + 8$
$P = frac{c(r+2)}{8} + frac{12c(r+4)}{c(r+2)} + 8$
$P = frac{c^2(r+2) + 96(r+4)}{c(r+2)}$
Подставляя выражения для a, b и c, получаем
$P = frac{c^2(r+2) + 96(r+4)}{c(r+2)}$
$P = frac{frac{c^2(r+2)(r+4)(r+8)}{512} + 96(r+4)}{frac{c(r+2)(r+4)}{8}}$
$P = frac{8c(r+2)(r+4)(r+8) + 512 cdot 96(r+4)}{c(r+2)(r+4)}$
$P = frac{8c(r+2)(r+4)(r+8) + 49152(r+4)}{c(r+2)(r+4)}$
$P = frac{8(r+4)(c(r+2)(r+8) + 6144)}{c(r+2)(r+4)}$
$P = frac{8(r+4)(c(r+8) + 768)}{c(r+2)}$
Подставляя значения для c и r, получаем
$P = frac{8(15+4)(15cdot 17 + 768)}{15+2}$
$P = frac{8 cdot 19 cdot 1053}{17}$
$P = 8 cdot 111 approx 888$
Ответ: периметр треугольника ABC равен примерно 888 см.
