Вопрос школьника
Окружность, вписанная в треугольник АВС, имеет центр в точке J и касается сторон АС и ВС в точках В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла В пересекает прямую А1В1 в точке К. Докажите, что точки A, J, В2 и К лежат на одной окружности. Чему равен угол АКВ
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки В, J и А1 лежат на одной прямой, так как они являются соответственно центром вписанной окружности и точками касания этой окружности со сторонами треугольника. Аналогично, точки А, J и В1 лежат на одной прямой.
Также заметим, что точки В, К и А1 лежат на одной прямой, так как точка К является пересечением биссектрисы угла В и отрезка А1В1.
Теперь рассмотрим треугольник АВ1В2. Он является прямоугольным, так как В1 и В2 являются точками касания окружности, а значит, отрезки В1J и В2J являются радиусами этой окружности и перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Также, отрезок А1К является биссектрисой угла АВ1В2, так как точка К лежит на отрезке А1В1 и пересекает биссектрису угла В.
Из этих свойств следует, что точки А, J, В2 и К лежат на одной окружности, так как угол В2АК равен половине угла В1АВ2, который в свою очередь равен углу В1JV2, так как В1J и В2J являются радиусами окружности. А значит, угол В2АJ равен углу В2КА, так как они опираются на одну и ту же дугу окружности.
Чтобы найти угол АКВ, заметим, что он равен углу В2А1В1, так как эти углы опираются на одну и ту же дугу окружности. Но угол В2А1В1 является внешним углом треугольника АВ1В2, а значит, он равен сумме внутренних углов при вершине В1 и В2, то есть углам В1АВ и В2АВ. Но угол В1АВ равен половине угла А, так как В1 и В2 являются точками касания окружности, а значит, угол В1JV2 является вписанным углом, равным углу А. Таким образом, угол В2А1В1 равен углу АКВ, который равен сумме углов В1АВ и В2АВ, то есть углу А.
