Вопрос школьника
Окружность, заданная уравнением х2 + у2 = 20, пересекает отрицательную полуось ОХ в точке N, точка L лежит на окружности, её абсцисса равна 2. Найдите площадь треугольника OLN.
Ответ от учителя
Для начала найдем координаты точки N. Так как точка N лежит на отрицательной полуоси ОХ, то ее абсцисса равна -sqrt(20), а ордината равна 0. Таким образом, координаты точки N равны (-sqrt(20), 0).
Точка L имеет абсциссу 2, а ордината будет равна sqrt(20 — 2^2) = 2*sqrt(3). Таким образом, координаты точки L равны (2, 2*sqrt(3)).
Теперь найдем координаты точки O, которая является началом координат. Очевидно, что координаты точки O равны (0, 0).
Теперь можем найти длины сторон треугольника OLN. Сторона OL равна расстоянию между точками O и L, которое можно найти по формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
OL = sqrt((2-0)^2 + (2*sqrt(3)-0)^2) = 2*sqrt(7)
Сторона ON равна расстоянию между точками O и N:
ON = sqrt((-sqrt(20)-0)^2 + (0-0)^2) = sqrt(20)
Сторона LN равна расстоянию между точками L и N:
LN = sqrt((2+sqrt(20))^2 + (2*sqrt(3)-0)^2) = sqrt(40 + 12*sqrt(3))
Теперь можем найти площадь треугольника OLN по формуле Герона:
s = (OL + ON + LN)/2 = (2*sqrt(7) + sqrt(20) + sqrt(40 + 12*sqrt(3)))/2
S = sqrt(s(s-OL)(s-ON)(s-LN)) = sqrt((2*sqrt(7) + sqrt(20) + sqrt(40 + 12*sqrt(3)))/2 * ((2*sqrt(7) + sqrt(20) + sqrt(40 + 12*sqrt(3)))/2 — 2*sqrt(7)) * ((2*sqrt(7) + sqrt(20) + sqrt(40 + 12*sqrt(3)))/2 — sqrt(20)) * ((2*sqrt(7) + sqrt(20) + sqrt(40 + 12*sqrt(3)))/2 — sqrt(40 + 12*sqrt(3))))
После подстановки числовых значений получаем:
S ≈ 10.94
Таким образом, площадь треугольника OLN равна примерно 10.94.
