Вопрос школьника
Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке А, а большую – в точке С. Известно, что AC = 3√2. Найдите ВС
Ответ от учителя
Пусть точка В имеет координаты (0,0) в декартовой системе координат. Тогда уравнения окружностей имеют вид:
x^2 + y^2 = 4 (уравнение окружности радиуса 2)
(x-2)^2 + y^2 = 16 (уравнение окружности радиуса 4)
Так как точка А лежит на меньшей окружности и на прямой, проходящей через точку В, то ее координаты можно найти из системы уравнений:
x^2 + y^2 = 4
y = kx
Подставляя второе уравнение в первое, получаем:
x^2 + (kx)^2 = 4
x^2(1+k^2) = 4
x = ±2/√(1+k^2)
Таким образом, координаты точки А равны:
A(2/√(1+k^2), 2k/√(1+k^2))
Аналогично, координаты точки С можно найти из системы уравнений:
(x-2)^2 + y^2 = 16
y = kx
Подставляя второе уравнение в первое, получаем:
(x-2)^2 + (kx)^2 = 16
x^2(k^2+1) — 4xk + 4 = 0
Решая квадратное уравнение относительно x, получаем:
x = 2k ± 2√(2-k^2)
Таким образом, координаты точки С равны:
C(2k ± 2√(2-k^2), 2k^2/(k^2+1))
Известно, что AC = 3√2. Подставляя координаты точек A и C в формулу расстояния между двумя точками, получаем:
√((2/√(1+k^2) — (2k ± 2√(2-k^2)))^2 + (2k/√(1+k^2) — 2k^2/(k^2+1))^2) = 3√2
Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:
k^4 — 4k^2 + 1 = 0
Решая квадратное уравнение относительно k^2, получаем:
k^2 = 2 ± √2
Таким образом, координаты точек A и C равны:
A(√2/2, √2/2)
C(√2, √2)
Из координат точек В, A и C можно найти длины отрезков ВА и ВС:
ВА = √(2^2 + 2^2) = 2√2
ВС = √((√2)^2 + (√2)^2) = 2
Ответ: ВС = 2.
