Вопрос школьника
Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABC и BCD. Они являются прямоугольными, так как AC и BD являются касательными к окружностям, а значит, они перпендикулярны к радиусам, проведенным в точках касания. Также, у этих треугольников есть общий угол в точке B.
Поэтому, треугольники ABC и BCD подобны друг другу по признаку общего угла и двух пар соответственных сторон. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению радиусов окружностей:
AB/BC = BC/CD = 45/90 = 1/2
Отсюда следует, что AB = BC/2 и CD = 2BC. Также, из прямоугольных треугольников ABC и BCD можно выразить BC через радиусы окружностей:
BC^2 = AC^2 — AB^2 = BD^2 — CD^2
Подставляя значения AB и CD, получаем:
BC^2 = AC^2 — (BC/2)^2 = BD^2 — (2BC)^2
Решая это уравнение, получаем:
BC = 36
Тогда расстояние между прямыми AB и CD равно расстоянию между параллельными прямыми, проведенными через точки A и D соответственно. Это расстояние равно разности расстояний от точек A и D до прямой BC:
AD = AB + BD = 45 + 90 = 135
Расстояние от точки A до прямой BC равно радиусу окружности с центром в точке B и равному 45, то есть 45. Расстояние от точки D до прямой BC равно радиусу окружности с центром в точке B и равному 90, то есть 90. Поэтому, расстояние между прямыми AB и CD равно:
|45 — 90| = 45
Ответ: расстояние между прямыми AB и CD равно 45.
