Вопрос школьника
Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Известно, что ∠АО1В = 90°, ∠АО2В = 60°, О1О2 = а. Найдите радиусы окружностей
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Обозначим радиусы окружностей через R1 и R2.
В треугольнике АО1О2 угол между сторонами О1О2 и О1А равен 90°, поэтому применим теорему косинусов для этого угла:
R1^2 = a^2 + R2^2 — 2aR2 cos(90°) = a^2 + R2^2
В треугольнике АО2О1 угол между сторонами О2О1 и О2А равен 60°, поэтому применим теорему косинусов для этого угла:
R2^2 = a^2 + R1^2 — 2aR1 cos(60°) = a^2 + R1^2 — aR1
Теперь можно решить эту систему уравнений относительно R1 и R2:
R1^2 = a^2 + (a^2 + R1^2 — aR1) = 2a^2 — aR1
R2^2 = a^2 + (a^2 + R2^2) = 2a^2 + R2^2
Выразим R1 из первого уравнения и подставим во второе:
R2^2 = 2a^2 + (2a^2 — aR1)
R2^2 = 4a^2 — aR1
Теперь подставим выражение для R1 и решим уравнение относительно R2:
R2^2 = 4a^2 — a(2a^2 — aR1)
R2^2 = 2a^2 + a^2R1
Таким образом, мы получили систему уравнений:
R1^2 = 2a^2 — aR1
R2^2 = 2a^2 + a^2R1
Решим первое уравнение относительно R1:
R1^2 + aR1 — 2a^2 = 0
Дискриминант этого квадратного уравнения равен:
D = a^2 + 8a^2 = 9a^2
Корни этого уравнения:
R1 = (-a ± √D)/2 = (-a ± 3a)/2 = -a или 2a
Отбросим отрицательный корень и получим:
R1 = 2a
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
R2^2 = 2a^2 + a^2(2a) = 4a^3
Отсюда:
R2 = 2a√a
Таким образом, радиусы окружностей равны:
R1 = 2a
R2 = 2a√a
