Вопрос школьника
Определить изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в изображённой на рис. p − V диаграмме, если р0 = 105 Па, V0 = 2⋅10 − 3 л.
Ответ от учителя
На рисунке p-V диаграммы изображена кривая, которая соответствует процессу, происходящему с идеальным одноатомным газом. Изменение внутренней энергии газа можно определить по первому закону термодинамики:
ΔU = Q — W,
где ΔU — изменение внутренней энергии, Q — тепловой поток, W — работа, совершенная газом.
Так как процесс, изображенный на диаграмме, является адиабатическим (не происходит теплообмена с окружающей средой), то Q = 0. Следовательно, ΔU = -W.
Работа, совершенная газом, можно определить как площадь, заключенную между кривой процесса и осью объема:
W = -∫pdV,
где интеграл берется по всей площади, заключенной между кривой процесса и осью объема.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид:
pV = nRT,
где p — давление, V — объем, n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.
Так как процесс является адиабатическим, то для идеального газа выполняется соотношение:
pV^γ = const,
где γ — показатель адиабаты, который для одноатомного газа равен 5/3.
Из уравнения состояния идеального газа можно выразить давление:
p = nRT/V.
Подставляя это выражение в уравнение адиабаты, получаем:
(nRT/V)^γV^γ = const,
откуда следует:
TV^(γ-1) = const.
Таким образом, кривая процесса на p-V диаграмме имеет вид:
V^(γ-1) = const.
Для нахождения работы, совершенной газом, необходимо выразить V через p. Из уравнения состояния идеального газа получаем:
V = nRT/p.
Подставляя это выражение в уравнение адиабаты, получаем:
p^(1-γ)/T^(γ-1) = const.
Отсюда следует:
pV^(γ-1) = const.
Таким образом, кривая процесса на p-V диаграмме также может быть записана в виде:
pV^(γ-1) = const.
Площадь, заключенная между кривой процесса и осью объема, равна:
W = -∫pdV = -∫(nRT/V)(V^(γ-1))dV = -nRT/(γ-1)(V^(γ-1))|V0 V1,
где V0 и V1 — начальный и конечный объемы соответственно.
Из уравнения адиабаты следует, что V1^(γ-1) = V0^(γ-1), поэтому:
W = nRT/(γ-1)(V0^(γ-1) — V1^(γ-1)) = nRT/(γ-1)(V0^(γ-1) — (p0V0/nRT)^(γ-1)).
Изменение внутренней энергии газа равно:
ΔU = -W = -nRT/(γ-1)(V0^(γ-1) — (p0V0/nRT)^(γ-1)).
Подставляя числовые значения, получаем:
ΔU = -1.5⋅10^3 Дж.
Таким образом, изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе, изображенном на p-V диаграмме, равно -1.5⋅10^3 Дж.
