Вопрос школьника
Определить внутреннюю энергию азота, содержащего количество вещества v = 1 моль при критической температуре Тk = 126 К при следующих значениях его объёма: V1 = 2*10^-2 м3; V2 = 2*10^-3 м3; V3 = 2*10^-4 м3; V4 = Vk.
Ответ от учителя
Для определения внутренней энергии азота необходимо использовать уравнение состояния Ван-дер-Ваальса:
(P + a/V^2)(V — b) = RT
где P — давление, V — объем, T — температура, R — универсальная газовая постоянная, а и b — константы, зависящие от свойств вещества.
Для азота значения констант a и b равны:
a = 1.39 * 10^-2 Па * м^6/моль^2
b = 3.14 * 10^-5 м^3/моль
При критической температуре азота давление и объем находятся на границе между жидким и газообразным состояниями, поэтому уравнение Ван-дер-Ваальса не применимо. Однако, можно использовать уравнение состояния идеального газа:
PV = nRT
где n — количество вещества.
Подставляя значения, получаем:
V1 = 2*10^-2 м^3
n = 1 моль
Tk = 126 К
P1 = nRT1/V1 = (1 моль * 8.31 Дж/моль*К * 126 К) / 2*10^-2 м^3 = 5.28 * 10^3 Па
Для определения внутренней энергии азота при объемах V2, V3 и V4 необходимо решить уравнение Ван-дер-Ваальса относительно давления P и подставить его в уравнение для внутренней энергии:
U = U0 + ∫Cv dT
где U0 — внутренняя энергия при нулевой температуре, Cv — теплоемкость при постоянном объеме.
После решения уравнения Ван-дер-Ваальса получаем следующие значения давления:
P2 = 5.28 * 10^4 Па
P3 = 5.28 * 10^5 Па
P4 = Pk = 3.39 * 10^6 Па
Подставляя значения в уравнение для внутренней энергии, получаем:
U1 = U0 + Cv * (Tk — 0) = U0 + 3/2 * nR * Tk = U0 + 3/2 * 1 моль * 8.31 Дж/моль*К * 126 К = U0 + 3.14 * 10^3 Дж
U2 = U0 + Cv * ∫T1^T2 dT = U0 + 3/2 * nR * (T2 — T1) = U0 + 3/2 * 1 моль * 8.31 Дж/моль*К * (126 К — 31.5 К) = U0 + 3.14 * 10^3 Дж
U3 = U0 + Cv * ∫T2^T3 dT = U0 + 3/2 * nR * (T3 — T2) = U0 + 3/2 * 1 моль * 8.31 Дж/моль*К * (252 К — 126 К) = U0 + 6.28 * 10^3 Дж
U4 = U0 + Cv * ∫T3^T4 dT = U0 + 3/2 * nR * (T4 — T3) = U0 + 3/2 * 1 моль * 8.31 Дж/моль*К * (126 К — 252 К) = U0 — 6.28 * 10^3 Дж
Таким образом, внутренняя энергия азота при объемах V1, V2, V3 и V4 равна:
U1 = U0 + 3.14 * 10^3 Дж
U2 = U0 + 3.14 * 10^3 Дж
U3 = U0 + 6.28 * 10^3 Дж
U4 = U0 — 6.28 * 10^3 Дж
Заметим, что внутренняя энергия азота при объеме V4 (равном критическому объему Vk) не определена, так как уравнение Ван-дер-Ваальса не применимо при критических условиях.