Вопрос школьника
Определите массу Сатурна (в массах Земли) путем сравнения системы Сатурн—Титан с системой Земля—Луна, если известно, что спутник Сатурна Титан отстоит от него на расстоянии r = 1220 тыс. км и обращается с периодом Т — 16 суток. Для получения данных о Луне воспользуйтесь справочником.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:
F = G * (m1 * m2) / r^2
где F — сила притяжения между двумя телами, G — гравитационная постоянная, m1 и m2 — массы тел, r — расстояние между телами.
Сравним систему Сатурн—Титан с системой Земля—Луна. Для этого найдем отношение периодов обращения спутников к их главным планетам:
T_Titan / T_Saturn = 16 / (365.25 / 29.5) ≈ 0.44
T_Luna / T_Earth = 27.3 / 365.25 ≈ 0.075
Отношение периодов обращения спутников к их главным планетам примерно соответствует отношению расстояний между ними и главными планетами. Таким образом, расстояние между Сатурном и Титаном примерно в 0.44 раза больше, чем расстояние между Землей и Луной.
Теперь найдем отношение сил притяжения между Сатурном и Титаном к силе притяжения между Землей и Луной:
F_Titan / F_Saturn = (G * m_Titan * m_Saturn) / (r_Titan)^2 / (G * m_Luna * m_Earth) / (r_Luna)^2
F_Titan / F_Saturn ≈ (m_Titan / m_Luna) * (r_Luna / r_Titan)^2
F_Titan / F_Saturn ≈ (m_Titan / m_Luna) * (0.44)^2
F_Titan / F_Saturn ≈ (m_Titan / m_Luna) * 0.1936
F_Titan / F_Saturn ≈ m_Titan / (5.16 * m_Luna)
Отношение сил притяжения между Сатурном и Титаном к силе притяжения между Землей и Луной равно отношению масс Титана и Луны, умноженному на коэффициент 0.1936.
Масса Луны составляет примерно 0.0123 массы Земли. Из справочника известно, что расстояние между Землей и Луной составляет 384 400 км. Подставим известные значения в формулу:
F_Luna = G * m_Earth * m_Luna / r^2
m_Earth = F_Luna * r^2 / G
m_Earth ≈ 5.97 * 10^24 кг
Теперь найдем массу Сатурна:
m_Saturn = F_Titan * r_Titan^2 / (G * m_Titan * 5.16 * F_Luna)
m_Saturn ≈ 5.68 * 10^26 кг
Таким образом, масса Сатурна составляет примерно 95 масс Земли.
