Вопрос школьника
Определите, является ли четырехугольник квадратом, если:
а) его диагонали равны и перпендикулярны;
б) он ромб с равными диагоналями;
в) его диагонали перпендикулярны и имеют общую середину;
г) его диагонали перпендикулярны, равны и имеют общую середину.
Ответ от учителя
а) Если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то это не обязательно означает, что он является квадратом. Например, ромб с углом 45 градусов не является квадратом, но его диагонали равны и перпендикулярны.
б) Если четырехугольник является ромбом с равными диагоналями, то он является квадратом. Это следует из того, что все стороны ромба равны между собой, а углы между диагоналями равны 90 градусов. Таким образом, все углы ромба также равны 90 градусов, что делает его квадратом.
в) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны и имеют общую середину, то это означает, что четырехугольник является прямоугольником. Однако, это не означает, что он является квадратом. Прямоугольник может иметь разные длины сторон, а квадрат имеет равные стороны.
г) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, равны и имеют общую середину, то это означает, что четырехугольник является квадратом. Это следует из того, что диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а также из того, что углы между диагоналями равны 90 градусов. Таким образом, все стороны квадрата равны между собой, что делает его квадратом.
