Вопрос школьника
Определите, является ли четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (1; -2), В (3; 6), С (5; -2) и D (3; -9) параллелограммом.
Ответ от учителя
Для того чтобы определить, является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные стороны равны по длине.
Для начала найдём координаты векторов AB, BC, CD и DA:
AB = (3-1; 6-(-2)) = (2; 8)
BC = (5-3; -2-6) = (2; -8)
CD = (3-5; -9-(-2)) = (-2; -7)
DA = (1-3; -2-(-9)) = (-2; 7)
Теперь проверим выполнение первого условия:
AB || CD, BC || DA
Для этого нужно проверить, что отношение координат векторов AB и CD равно отношению координат векторов BC и DA:
AB/CD = (2/-2; 8/-7) = (-1; -8/7)
BC/DA = (2/-2; -8/7) = (-1; -8/7)
Отношения координат векторов AB и CD, а также BC и DA равны, следовательно, противоположные стороны параллельны.
Теперь проверим выполнение второго условия:
AB = CD, BC ≠ DA
Для этого нужно проверить, что длины векторов AB и CD равны, а длины векторов BC и DA не равны:
|AB| = √(2² + 8²) = √68
|CD| = √((-2)² + (-7)²) = √53
|BC| = √(2² + (-8)²) = √68
|DA| = √((-2)² + 7²) = √53
|AB| = |CD|, |BC| = |DA| не выполняется, следовательно, противоположные стороны не равны.
Таким образом, четырёхугольник ABCD не является параллелограммом, так как не выполняется второе условие.
