Вопрос школьника
Основание AD трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов: a) BD; б) CD; в) АС.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства трапеции и тригонометрические функции.
а) Для нахождения длины вектора BD нам нужно найти длину боковой стороны трапеции. Из свойств трапеции мы знаем, что боковые стороны трапеции равны между собой. Таким образом, BD = CD. Осталось найти длину боковой стороны трапеции. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:
AB² + BD² = AD²
Подставляем известные значения:
5² + BD² = 12²
BD² = 144 — 25
BD = √119
Таким образом, длина вектора BD равна √119.
б) Для нахождения длины вектора CD мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника BCD:
CD² = BC² + BD² — 2·BC·BD·cos(∠BCD)
Из свойств трапеции мы знаем, что BC = AD = 12 см. Также мы уже нашли длину вектора BD. Осталось найти угол ∠BCD. Из свойств трапеции мы знаем, что ∠BCD = 180° — ∠BAD = 180° — 90° — 45° = 45°. Таким образом, мы можем подставить известные значения в формулу:
CD² = 12² + (√119)² — 2·12·√119·cos(45°)
CD² = 144 + 119 — 2·12·√119·(1/√2)
CD² = 263 — 144
CD = √119
Таким образом, длина вектора CD равна √119.
в) Для нахождения длины вектора АС мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ABC:
AC² = AB² + BC² — 2·AB·BC·cos(∠ABC)
Мы уже знаем длины сторон AB и BC, а угол ∠ABC можно найти из свойств трапеции: ∠ABC = 180° — ∠BAD = 180° — 90° = 90°. Таким образом, мы можем подставить известные значения в формулу:
AC² = 5² + 12² — 2·5·12·cos(90°)
AC² = 169
AC = 13
Таким образом, длина вектора АС равна 13 см.
