Вопрос школьника
Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник. Объем пирамиды равен 9 см3, а угол между диагоналями основания — 30°. Вычислите радиус окружности, описанной около основания, если боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся формулы для объема пирамиды и радиуса описанной окружности прямоугольника.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания, h — высота пирамиды.
Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле:
S = a * b,
где a и b — стороны прямоугольника.
Радиус описанной окружности прямоугольника вычисляется по формуле:
R = (a^2 + b^2) / (2 * sqrt(2)),
где a и b — стороны прямоугольника.
Из условия задачи известно, что объем пирамиды равен 9 см3, поэтому мы можем записать уравнение:
(1/3) * S * h = 9.
Также известно, что угол между диагоналями основания равен 30°, а боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. Это означает, что прямоугольник является равнобедренным, а боковые ребра пирамиды равны между собой и образуют угол 45° с основанием.
Пусть a и b — стороны прямоугольника, тогда мы можем записать:
a = b * tan(30°),
a = b * tan(45°).
Из этих уравнений можно выразить b:
b = a / tan(30°) = a * sqrt(3),
b = a / tan(45°) = a.
Таким образом, получаем:
a * b = a^2 * sqrt(3) = S.
(1/3) * S * h = 9,
h = 27 / (a^2 * sqrt(3)).
Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности:
R = (a^2 + b^2) / (2 * sqrt(2)) = (a^2 + a^2) / (2 * sqrt(2)) = a^2 / sqrt(2).
Заменяем значение a^2 на S / sqrt(3):
R = S / (sqrt(2) * sqrt(3)) = S / sqrt(6) = a^2 * sqrt(3) / sqrt(6) = a * sqrt(3 / 2).
Подставляем значение a:
R = a * sqrt(3 / 2) = b * sqrt(3) / 2 = (S / a) * sqrt(3) / 2 = (27 / a^3) * sqrt(3) / 2.
Таким образом, радиус описанной окружности равен (27 / a^3) * sqrt(3) / 2. Осталось только подставить значение a:
a^2 * sqrt(3) = S = 9,
a = sqrt(3),
R = (27 / 3^(3/2)) * sqrt(3) / 2 ≈ 3.89 см.
Ответ: радиус окружности, описанной около основания четырехугольной пирамиды, равен примерно 3.89 см.
